6 差分方程式のJacobi行列とその固有値

この固定点 $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$の位相的性質(安定性)は,前節で求めた 式(8)の初期値に対するJacobi行列,
\begin{displaymath}
\frac{\partial T(\mbox{\boldmath$ x $}_0)}{\partial \mbox{\b...
...l \varphi_2}{\partial y_0} (2\pi, x_0, y_0)
\end{array}\right]
\end{displaymath} (6.23)

の固有値で特徴づけられる.

この説明の前準備をしよう.式(8)は離散系になっている. 離散系の一般的な方程式は,状態 $\mbox{\boldmath$\ x $} \in \mbox{\boldmath$R$}^n$ に関して,

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ x $}^{(k+1)} = \mbox{\boldmath$ f $}(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)})
\end{displaymath} (6.24)

という差分方程式で与えられる. $\mbox{\boldmath$\ f $}$の固定点 $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$が見つかったとき,
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ x $}_0 = \mbox{\boldmath$ f $}(\mbox{\boldmath$ x $}_0 )
\end{displaymath} (6.25)

となることがわかる.

ところで,連続時間の自律系の場合を復習すると[4],

\begin{displaymath}
\frac{d\mbox{\boldmath$ x $}}{dt} = \mbox{\boldmath$ f $}(\mbox{\boldmath$ x $})
\end{displaymath} (6.26)

の平衡点を $\mbox{\boldmath$\ x $}^*$ とする. 平衡点近傍 $\mbox{\boldmath$\ x $}^*+\mbox{\boldmath$\ \xi $}$ において Taylor 展開を実行すると,
\begin{displaymath}
\frac{d(\mbox{\boldmath$ x $}^* + \mbox{\boldmath$ \xi $})}{...
... $}=
\mbox{\boldmath$ x $}_0}\mbox{\boldmath$ \xi $} + \cdots
\end{displaymath} (6.27)

この式と式(26)との差を取ると, $\mbox{\boldmath$\ \xi $}$ に関する変分方程式
\begin{displaymath}
\frac{d\mbox{\boldmath$ \xi $}}{dt} =
\left. \frac{\partial...
...$}_0) \mbox{\boldmath$ \xi $} \equiv J \mbox{\boldmath$ \xi $}
\end{displaymath} (6.28)

が得られる.この$J(n \times n)$の固有値 $\mu$ の値によって平衡点の安定性を判別できたことを思いだそう[*]. つまり, $\mbox{\boldmath$\ \xi $}$についての一般解は次式で表される.
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ \xi $} = \sum^n_{k=1}c_k e^{\mu_k t}\mbox{\boldmath$ \xi $}_k
\end{displaymath} (6.29)

ここで$c_k$は定数, $\mbox{\boldmath$\ \xi $}_k$は固有ベクトルを示している. この式で例えば,固有値の全てが 負の実部を持っていると,その平衡点が安定なのは一目瞭然であろう[*]. したがって連続時間自律系において,ある平衡点での Jocobi行列の固有値は,その平衡点の安定性の指数となっていた. この固有値と同様な,離散系における指標は何であろうか.

元に戻って,離散系システムの固定点は,連続系の平衡点に対応すると考えられる. すなわち,式(25)は連続系(3)の,

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ f $}(\mbox{\boldmath$ x $}) = 0
\end{displaymath} (6.30)

に対応している.ともに定常状態に落ち着いていると思えばよい.

式(25)について一次の変分方程式をたてよう. いま,固定点近傍について $\mbox{\boldmath$\ x $}^{(k)}=\mbox{\boldmath$\ x $}_0 + \mbox{\boldmath$\ \xi $}^{(k)}$として

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ x $}^{(k+1)} = \mbox{\boldmath$ x $}_0 + \m...
...f $}(\mbox{\boldmath$ x $}_0+ \mbox{\boldmath$ \xi $}^{(k)}).
\end{displaymath} (6.31)

この式に対してTaylor展開を施すと,
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ x $}^{(k+1)} = \mbox{\boldmath$ f $}(\mbox{...
...mbox{\boldmath$ x $}_0}\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(k)} + \cdots
\end{displaymath} (6.32)

となる.2次以降を無視し,式(25)との差を取ると, 線形差分方程式,
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(k+1)} =
\left.
\frac{\partial \mb...
...{\boldmath$ \xi $}^{(k)} \equiv J\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(k)}
\end{displaymath} (6.33)

が得られる.ここで$J$$(n \times n)$の Jocobi行列となる.

さて,

\begin{displaymath}
( J - \mu I)\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(0)} = 0
\end{displaymath} (6.34)

が成り立つゼロでない解 $\mbox{\boldmath$\ \xi $}^{(0)}$ が存在するとき, $\mu$ を差分方程式(33)の固有値という. また, $\mbox{\boldmath$\ \xi $}^{(0)}$ を,固有値 $\mu$ に対応する固有ベクトルという. 固有値は特性方程式,
\begin{displaymath}
\det \bigl[J - \mu I \bigr] = 0
\end{displaymath} (6.35)

で求められ,固有ベクトルは式(34)を直接計算すると 求められる.

固有ベクトルを出発点として,方程式(33)で次々と生成 されてゆくベクトル列は,

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(1)} = \mu \mbox{\boldmath$ \xi $}^...
...{\boldmath$ \xi $}^{(k)} = \mu^k \mbox{\boldmath$ \xi $}^{(0)}
\end{displaymath} (6.36)

となる.この差分方程式の一般解は,
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(k)} = \sum^n_{i=1} c_i \mu^k_i \mbox{\boldmath$ \xi $}^{(0,i)}
\end{displaymath} (6.37)

で表すことができる.ここで$c_i$は定数, $\mbox{\boldmath$\ \xi $}^{(0,i)}$は 固有値$\mu_i$に対応した固有ベクトルである.

式(37)はある大きさの固有ベクトルに, あるスカラ値$\mu_i$$k$回かけていくことになる. そこで,ベクトル $\mbox{\boldmath$\ \xi $}^{(k)}$ の長さが発散しないためには

\begin{displaymath}
\left\vert \mu_i \right\vert < 1
\end{displaymath} (6.38)

を要することがわかる.

さて,もとのPoincaré写像によって次々と生成されてゆくベクトル列は, 式(36)に似た形の式になっていると気がつくだろう:

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ x $}^{(1)} = T(\mbox{\boldmath$ x $}^{(0)})...
... x $}^{(k+1)} = T(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)}),\enskip \cdots
\end{displaymath} (6.39)

したがって,式(6)の特性方程式
\begin{displaymath}
\det \left[ \frac{\partial T(\mbox{\boldmath$ x $}_0)}
{\partial \mbox{\boldmath$ x $}_0} - \mu I \right] = 0
\end{displaymath} (6.40)

の固有値,$\mu_1,\mu_2$によって,固定点 $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$の 安定性が議論できる. 2次元力学系における固定点の分類は,ここでは簡単に 次表にまとめる.


Table 1: 固定点の分類
名称 条件 記号
完全安定固定点 $\vert\mu_1\vert < 1,\, \vert\mu_2\vert <1$ S
完全不安定固定点 $\vert\mu_1\vert > 1,\, \vert\mu_2\vert >1$ U
正不安定固定点 $0 < \mu_1 < 1 < \mu_2$ D
逆不安定固定点 $\mu_1 < -1 < \mu_2 < 0$ I

一つの固定点には2つの方向の固有ベクトルが対応する.例えば,正不安定 固定点なら流入,流出の2方向のベクトルになっている.これを鞍型点(saddle point) という.また,逆不安定固定点は,写像の度に反対方向に点列が反転して いく(マイナスの値を繰り返しかけるから)鞍型点になっている.

さて,以上の予備知識をもとに,固定点を任意のパラメータにおいて求めること ができるようになった.

User & 2017-09-07