6 差分方程式のJacobi行列とその固有値

この固定点 $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$の位相的性質(安定性)は，前節で求めた 式(8)の初期値に対するJacobi行列，

$$\frac{\partial T(\mbox{\boldmath$ x $}_0)}{\partial \mbox{\b... ...l \varphi_2}{\partial y_0} (2\pi, x_0, y_0) \end{array}\right]$$ (6.23)

の固有値で特徴づけられる．

この説明の前準備をしよう．式(8)は離散系になっている． 離散系の一般的な方程式は，状態 $\mbox{\boldmath$\ x $} \in \mbox{\boldmath$R$}^n$ に関して，

$$\mbox{\boldmath$ x $}^{(k+1)} = \mbox{\boldmath$ f $}(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)})$$ (6.24)

という差分方程式で与えられる． $\mbox{\boldmath$\ f $}$の固定点 $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$が見つかったとき，

$$\mbox{\boldmath$ x $}_0 = \mbox{\boldmath$ f $}(\mbox{\boldmath$ x $}_0 )$$ (6.25)

となることがわかる．

ところで，連続時間の自律系の場合を復習すると[4]，

$$\frac{d\mbox{\boldmath$ x $}}{dt} = \mbox{\boldmath$ f $}(\mbox{\boldmath$ x $})$$ (6.26)

の平衡点を $\mbox{\boldmath$\ x $}^*$ とする． 平衡点近傍 $\mbox{\boldmath$\ x $}^*+\mbox{\boldmath$\ \xi $}$ において Taylor 展開を実行すると，

$$\frac{d(\mbox{\boldmath$ x $}^* + \mbox{\boldmath$ \xi $})}{... ... $}= \mbox{\boldmath$ x $}_0}\mbox{\boldmath$ \xi $} + \cdots$$ (6.27)

この式と式(26)との差を取ると， $\mbox{\boldmath$\ \xi $}$ に関する変分方程式

$$\frac{d\mbox{\boldmath$ \xi $}}{dt} = \left. \frac{\partial... ...$}_0) \mbox{\boldmath$ \xi $} \equiv J \mbox{\boldmath$ \xi $}$$ (6.28)

が得られる．この$J(n \times n)$の固有値 $\mu$ の値によって平衡点の安定性を判別できたことを思いだそう． つまり， $\mbox{\boldmath$\ \xi $}$についての一般解は次式で表される．

$$\mbox{\boldmath$ \xi $} = \sum^n_{k=1}c_k e^{\mu_k t}\mbox{\boldmath$ \xi $}_k$$ (6.29)

ここで$c_k$は定数， $\mbox{\boldmath$\ \xi $}_k$は固有ベクトルを示している． この式で例えば，固有値の全てが 負の実部を持っていると，その平衡点が安定なのは一目瞭然であろう． したがって連続時間自律系において，ある平衡点での Jocobi行列の固有値は，その平衡点の安定性の指数となっていた． この固有値と同様な，離散系における指標は何であろうか．

元に戻って，離散系システムの固定点は，連続系の平衡点に対応すると考えられる． すなわち，式(25)は連続系(3)の，

$$\mbox{\boldmath$ f $}(\mbox{\boldmath$ x $}) = 0$$ (6.30)

に対応している．ともに定常状態に落ち着いていると思えばよい．

式(25)について一次の変分方程式をたてよう． いま，固定点近傍について $\mbox{\boldmath$\ x $}^{(k)}=\mbox{\boldmath$\ x $}_0 + \mbox{\boldmath$\ \xi $}^{(k)}$として

$$\mbox{\boldmath$ x $}^{(k+1)} = \mbox{\boldmath$ x $}_0 + \m... ...f $}(\mbox{\boldmath$ x $}_0+ \mbox{\boldmath$ \xi $}^{(k)}).$$ (6.31)

この式に対してTaylor展開を施すと，

$$\mbox{\boldmath$ x $}^{(k+1)} = \mbox{\boldmath$ f $}(\mbox{... ...mbox{\boldmath$ x $}_0}\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(k)} + \cdots$$ (6.32)

となる．2次以降を無視し，式(25)との差を取ると， 線形差分方程式，

$$\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(k+1)} = \left. \frac{\partial \mb... ...{\boldmath$ \xi $}^{(k)} \equiv J\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(k)}$$ (6.33)

が得られる．ここで$J$は$(n \times n)$の Jocobi行列となる．

さて，

$$( J - \mu I)\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(0)} = 0$$ (6.34)

が成り立つゼロでない解 $\mbox{\boldmath$\ \xi $}^{(0)}$ が存在するとき， $\mu$ を差分方程式(33)の固有値という． また， $\mbox{\boldmath$\ \xi $}^{(0)}$ を，固有値 $\mu$ に対応する固有ベクトルという． 固有値は特性方程式，

$$\det \bigl[J - \mu I \bigr] = 0$$ (6.35)

で求められ，固有ベクトルは式(34)を直接計算すると 求められる．

固有ベクトルを出発点として，方程式(33)で次々と生成 されてゆくベクトル列は，

$$\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(1)} = \mu \mbox{\boldmath$ \xi $}^... ...{\boldmath$ \xi $}^{(k)} = \mu^k \mbox{\boldmath$ \xi $}^{(0)}$$ (6.36)

となる．この差分方程式の一般解は，

$$\mbox{\boldmath$ \xi $}^{(k)} = \sum^n_{i=1} c_i \mu^k_i \mbox{\boldmath$ \xi $}^{(0,i)}$$ (6.37)

で表すことができる．ここで$c_i$は定数， $\mbox{\boldmath$\ \xi $}^{(0,i)}$は 固有値$\mu_i$に対応した固有ベクトルである．

式(37)はある大きさの固有ベクトルに， あるスカラ値$\mu_i$を$k$回かけていくことになる． そこで，ベクトル $\mbox{\boldmath$\ \xi $}^{(k)}$ の長さが発散しないためには

$$\left\vert \mu_i \right\vert < 1$$ (6.38)

を要することがわかる．

さて，もとのPoincaré写像によって次々と生成されてゆくベクトル列は， 式(36)に似た形の式になっていると気がつくだろう:

$$\mbox{\boldmath$ x $}^{(1)} = T(\mbox{\boldmath$ x $}^{(0)})... ... x $}^{(k+1)} = T(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)}),\enskip \cdots$$ (6.39)

したがって，式(6)の特性方程式

$$\det \left[ \frac{\partial T(\mbox{\boldmath$ x $}_0)} {\partial \mbox{\boldmath$ x $}_0} - \mu I \right] = 0$$ (6.40)

の固有値，$\mu_1,\mu_2$によって，固定点 $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$の 安定性が議論できる． 2次元力学系における固定点の分類は，ここでは簡単に 次表にまとめる．

Table 1: 固定点の分類

名称	条件	記号
完全安定固定点	$\vert\mu_1\vert < 1,\, \vert\mu_2\vert <1$	S
完全不安定固定点	$\vert\mu_1\vert > 1,\, \vert\mu_2\vert >1$	U
正不安定固定点	$0 < \mu_1 < 1 < \mu_2$	D
逆不安定固定点	$\mu_1 < -1 < \mu_2 < 0$	I

一つの固定点には2つの方向の固有ベクトルが対応する．例えば，正不安定 固定点なら流入，流出の2方向のベクトルになっている．これを鞍型点(saddle point) という．また，逆不安定固定点は，写像の度に反対方向に点列が反転して いく(マイナスの値を繰り返しかけるから)鞍型点になっている．

さて，以上の予備知識をもとに，固定点を任意のパラメータにおいて求めること ができるようになった．