3 平衡点解析

2階の常微分方程式の正規形は次の式で記述される:

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{dx}{dt} & = & f_1(x,... ...ip1ex} \displaystyle \frac{dy}{dt} & = & f_2(x, y) \end{array}$$ (3.3)

いま，この系(3)が非線形常微分方程式で 記述されていたとする．式(3)の右辺に，時間関数がない場合を 自律系という．時間微分の項を 0とおいた方程式:

$$\begin{array}{rcl} f_1(x, y) = 0\\ f_2(x, y) = 0 \end{array}$$ (3.4)

は，系(3)の平衡点の座標を与える． もし平衡点が安定であれば，その近傍を初期値とする解軌道は， 過渡応答が終った後にその点に落ち着くであろう．

この平衡点がどのような性質を持つかを調べるには，平衡点の 安定性に着目すればよい．すなわち，平衡点の近傍において，平衡点の近傍 を初期値とする軌道が，平衡点に対してどう振舞うかを調べる． 時間の発展に応じて，軌道が平衡点に漸近していけば，その平衡点は 安定だとといえるだろう．この安定性の判別は， 式(3)を Taylor 展開したとき，その1次の項の係数行列である Jacobi行列の固有値を求める問題に帰着される．第6 節を参照．

さて，系(3)に周期外力が加わった場合， すなわち系(2)を考えよう． 実際に Runge-Kutta などの数値積分を用いて軌道を描かしてみよう． 系のパラメータを，できるだけ線形に近い状態にしておき， 任意の初期値から出発した解が，過渡応答を終え，安定平衡点に落ち着いている状態 にセットする．この状態で正弦波を入力し，その振幅を徐々に大きくすると， 安定平衡点まわりに周期解が発生する． この周期解は外力の周期に同期した軌道を描くであろう． このとき，系(3)の右辺には時間関数が加わり， 非自律系となる．

つぎに系のパラメータを徐々に変えていくと，解軌道が突如大きい振幅の軌道に 変化することがある．また，軌道が2重にダブりはじめたり， カオス状態と呼ばれる複雑な振動が見られたりと， さまざまな奇妙な現象が生じる．これらの現象を，周期解の分岐現象という． 以下では，周期外力の持つ性質を利用して，方程式を解析の容易な形に 変換する写像を考える．