4 Poincaré写像と固定点

次の写像を考えよう． $t=0$で相平面上の任意の$(x_0,y_0)$を通る式(2)の解を

$$\begin{array}{rcl} x(t) &=& \varphi_1(t,x_0,y_0,\lambda) \\ y(t) &=& \varphi_2(t,x_0,y_0,\lambda) \end{array}$$ (4.5)

とする．これに対して次の連続可微分写像を定義する．

$$\begin{array}{rcll} T_{\lambda} : & \mbox{\boldmath$R$}^2 & ... ...i,x_0,y_0,\lambda),\varphi_2(2\pi,x_0,y_0,\lambda)) \end{array}$$ (4.6)

つまり初期値$(x_0,y_0)$から$2\pi$おきに， 解の相平面上の位置をサンプリング した点列を考えていることになる：

$$(x_0,y_0),\enskip T_{\lambda}(x_0,y_0),\enskip T_{\lambda}^2(x_0,y_0), \enskip \cdots , T_{\lambda}^n(x_0,y_0), \cdots$$ (4.7)

この$T_{\lambda}$をPoincaré 写像という． 点列(7)は， 解の $t \in (0,2\pi)$区間の情報を無視するのであるから， 直感的に解析が簡単になりそうだと思えるだろう．

さて， 写像(6)は時間の離散化を意味しているので， 前述の数値シミュレーションにおいては，軌道は点列に置き換えられている． たとえば， 周期$2\pi$の等速円運動を行なっている解軌道は，この写像によって， 相平面上では一点に変換されることは容易に分かる． この点を固定点(fixed point)という．周期が$2m\pi$であるときは， 相平面には$m$個の 点が見つかるに違いない．これを$m$-周期点($m$-periodic point)という． このような解は $1/m$ 分数調波解という．

いま，相平面上の点 $\mbox{\boldmath$\ x $}_0 = (x_0,y_0)^t \in \mbox{\boldmath$R$}^2$を $T_{\lambda}$の 固定点としよう．そのとき，

$$T_\lambda(\mbox{\boldmath$ x $}_0) - \mbox{\boldmath$ x $}_0 = 0$$ (4.8)

すなわち，

$$\begin{array}{rcl} \varphi_1(2\pi,x_0, y_0, \lambda) - x_0 &... ...\ \varphi_2(2\pi,x_0, y_0, \lambda) - y_0 & = & 0 \end{array}$$ (4.9)

が成り立つ．

さて，われわれの議論は， 式(2)の連続系から，式(6)の離散系に 変換されたので，解析すべき対象が 微分方程式(Differential Equation)から 差分方程式(Difference Equation)に変わったことに注意しなければならない．