5 固定点の追跡

いま，パラメータは一定値に定めておく．したがって，以下の式では 変数 $\lambda$ を省略する ． 固定点のだいたいの位置は，数値シュミレーションによって容易に得られる． このデータから任意の精度の正確な位置がいま，知りたいとしよう． それにはNewton法を用いる．

Newton方のアルゴリズムを簡単に復習する． $F(\mbox{\boldmath$\ x $})=0,\, \mbox{\boldmath$\ x $} \in \mbox{\boldmath$R$}^n$とすると，関数 $F(\mbox{\boldmath$\ x $})$の， 第$k$近似 $\mbox{\boldmath$\ x $}^{(k)}$まわりのTaylor展開は，

$$F(\mbox{\boldmath$ x $}) = F(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)}) + ... ...(\mbox{\boldmath$ x $} - \mbox{\boldmath$ x $}^{(k)}) + \cdots$$ (5.10)

で表される．ここで $F'(\mbox{\boldmath$\ x $}^{(k)}) = (\partial f_i/ \partial x_j)$はJacobi行列である．近似値の修正量 $\mbox{\boldmath$\ h $} = \mbox{\boldmath$\ x $}^{(k+1)} - \mbox{\boldmath$\ x $}^{(k)}$は次の式で与えられる．

$$F'(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)})\mbox{\boldmath$ h $} = -F(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)})$$ (5.11)

Newton法は二次収束であり，かなりよい第$k$近似 $\mbox{\boldmath$\ x $}^{(k)}$を与えたら， 数回の反復で精度の良い近似解が得られる仕組みになっている．

さて，Poincaré 写像の方程式(8)の固定点の近似値を $\mbox{\boldmath$\ x $}_0^{(k)}$とする．いま，

$$F(\mbox{\boldmath$ x $}_0) = \mbox{\boldmath$ x $}_0 - T(\mbox{\boldmath$ x $}_0) = 0$$ (5.12)

としたとき，第$k+1$次の近似解を得るアルゴリズムは次のとおり．

$$\begin{array}{rcl} \mbox{\boldmath$ x $}^{(k+1)}_0 & = & \mb... ...math$ h $} & = & -F(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)}_0) \end{array}$$ (5.13)

ここで， $F'(\mbox{\boldmath$\ x $}_0^{(k)})$は初期値 $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$に関する微分による第$k$次の Jacobi行列$(2 \times 2)$で，

$$F'(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)}_0) = I - \frac{\partial T}{\partial \mbox{\boldmath$ x $}}(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)}_0)$$ (5.14)

$$\frac{\partial T}{\partial \mbox{\boldmath$ x $}}(\mbox{\bol... ...\partial y_0} (2\pi, x_0^{(k)}, y_0^{(k)}) \end{array}\right]$$ (5.15)

となる．ただし，$I$は$(2 \times 2)$の単位行列である． 式(13)の第2式は， $\mbox{\boldmath$\ h $}$について， Gaussの掃き出し法などで 解かなくてはならない． $F(\mbox{\boldmath$\ x $}_0^{(k)})$は関数値そのものを与えるとよいが， 問題は，式(15)の Jacobi行列の要素(偏微分の値！)をどうやって求めるかである．

ちょっと元にもどって考えてみよう． 式(2)を書き直す:

$$\frac{d \mbox{\boldmath$ x $}}{dt} = \mbox{\boldmath$ f $}(t,\mbox{\boldmath$ x $}).$$ (5.16)

ただし， $\mbox{\boldmath$\ x $} = (x,y)^t, \, \mbox{\boldmath$\ f $}(t, \mbox{\boldmath$\ x $}) = (f_1(t, \mbox{\boldmath$\ x $}),f_2(t, \mbox{\boldmath$\ x $}))^t$とする． $(\varphi_1, \varphi_2)^t = \mbox{\boldmath$\ \varphi $}$としたとき， 初期値 $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$から出発する式(16)の解を

$$\mbox{\boldmath$ x $}(t) = \mbox{\boldmath$ \varphi $}(t, \mbox{\boldmath$ x $}_0)$$ (5.17)

としよう． この解を式(16)に代入すると，

$$\frac{d \mbox{\boldmath$ \varphi $}}{dt}(t, \mbox{\boldmath$... ...}(t, \mbox{\boldmath$ \varphi $}(t, \mbox{\boldmath$ x $}_0)).$$ (5.18)

この式を $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$で微分する．すると，

$$\frac{\partial}{\partial \mbox{\boldmath$ x $}_0}\left( \fr... ...box{\boldmath$ \varphi $}(t, \mbox{\boldmath$ x $}_0)) \right)$$ (5.19)

左辺の微分の順序は変更できる．右辺も計算すると，

$$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mbox{\boldmath$ \varphi $... ...{\partial \mbox{\boldmath$ x $}_0}(t,\mbox{\boldmath$ x $}_0).$$ (5.20)

この式は，わかりやすく書き換えると，

$$\frac{dX}{dt} = \frac{d \mbox{\boldmath$ f $}}{d \mbox{\boldmath$ x $}}X$$ (5.21)

となる．つまり $X = \partial \mbox{\boldmath$\ \varphi $} / \partial \mbox{\boldmath$\ x $}_0$は 線形行列微分方程式の基本行列解 となっている． この式(20)は式(16)の変分方程式といわれる．

ところで

$$\frac{\partial \mbox{\boldmath$ \varphi $}} {\partial \mbox{\boldmath$ x $}_0}(0,\mbox{\boldmath$ x $}_0) = I$$ (5.22)

である．$I$は$(n \times n)$の単位行列である． 式(22)を初期値として，式(20)を時刻$t=0$から $2\pi$まで数値積分すれば，式(15)を求める ことができ，Newton法によって精密な固定点の位置 $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$ が 求められる．また$m$-周期点が求めたい場合は積分を$2m\pi$まで 実行すればよい．