7 パラメータ平面上での分岐曲線の追跡

式(2)をコンピュータで数値積分させて，Poincaré写像によって，それが 写される固定点の様子を見てみる．周期外力を適当に設定して 1周期解を得ていることにしよう．

いま，パラメータ $\mbox{\boldmath$\ \lambda $} \in \mbox{\boldmath$R$}^m$のうち， $(m-1)$個の成分は固定し，残り1 つの $\lambda \in \mbox{\boldmath$R$}$ をオンラインで変化させているとしよう． すると，さまざまな点列の性質の変化が観測されるに 違いない．これらは固定点の分岐現象と呼ばれる． 固定点の分岐は，以下の3つの条件で起こる．

1. 接線分岐:固有値の1つが$1$になる．
   あるパラメータで突然，一つの固定点が別の位置にジャンプする． (jump phenomenon)．つまり軌道がそのパラメータで大きく形状を変える． パラメータを逆方向に徐々に戻しても，ジャンプした 固定点は，すぐには元の位置に戻らないヒステリシス現象(histerisis phenomenon) を示す．前節で説明した固定点追跡法では，この現象の近傍で式(14) が非正則となるため，Newton 法がストップしてしまうであろう．

2. 周期倍分岐:固有値の1つが$-1$になる．
   この分岐はあるパラメータで固定点が2点に分かれる(period doubling)． 解軌道は，二重にだぶったように見える閉曲線として観察される． これは新たに安定な固定点が2つ生まれ，変化前の安定な固定点は， 変化後に鞍型点となっている． 固定点が2つになったのではなく，3つになったことに注意．

3. Neimark-Sacker分岐:2つの固有値が複素共役となり，単位円を横切る．
   この分岐では，ある安定な固定点が突然不安定化し，その周りに準周期解 による不変閉曲線が現れる． この分岐が現れない系もあらかじめ知ることができる(後述)．

Figure 1: 分岐の種類と特性乗数の関係

さて，これらの分岐曲線を得たいとしよう．上述のどの分岐においても，以下の 解析方法は同じである． 固定点の性質は，あらかじめ固有値として与えることができるので， 次の連立方程式を解けば分岐点の精密な位置が分かる．

$$\begin{array}{l} f_1(x_0,y_0,\lambda) - x_0 = 0 \\ f_2(x_0,... ...2\pi,x_0,y_0,\lambda) - \mu \end{array}\right] = 0 \end{array}$$ (7.41)

この式(41)の第1,2式は固定点である条件，第3式は 指定された固有値に対して特性方程式の値がゼロになる条件， 言い替えると，ゼロでない固有ベクトルがある条件を表している．

$F \in \mbox{\boldmath$R$}^3$として，連立方程式を次の式でまとめる．

$$F(x_0,y_0,\lambda) = ( f_1(x_0,y_0,\lambda), f_2(x_0,y_0,\lambda), g(x_0,y_0,\lambda))^t$$ (7.42)

ここで $g(x_0,y_0,\lambda)$において，簡単に 行列式が展開できる:

$$g(x_0, y_0, \lambda) = \mu^2 - \mu(\frac{\partial \varphi_1... ...partial y_0} \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_0} ) = 0$$ (7.43)

分岐点のシューティングアルゴリズムとしては，前節と同様にNewton法を用いる． 式(13)を再掲する．

$$\begin{array}{l} \mbox{\boldmath$ x $}^{(k+1)} = \mbox{\bold... ...x{\boldmath$ h $} = -F(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)}) \end{array}$$ (7.44)

ここで $\mbox{\boldmath$\ x $} = (x_0, y_0, \lambda)^t$となっている． この$k$次近似におけるJocobi行列は，

$$F'(\mbox{\boldmath$ x $}) = \left[ \begin{array}{lll} \displaystyle \frac{\partial f_1}{\part... ...ial \varphi_2}{\partial \lambda} \\ \displaystyle a & b & c \end{array}\right]$$ (7.45)

$$a = -\mu(\frac{\partial^2 \varphi_1}{\partial x_0^2} + \frac{\partial^2 \varphi_2}{\partial x_0 \partial y_0})$$

$$\quad {} +\frac{\partial^2\varphi_1}{\partial x_0^2 } \frac{\part... ...ac{\partial \varphi_1}{\partial y_0} \frac{\partial^2\varphi_2}{\partial x_0^2}$$ (7.46)

$$b = -\mu(\frac{\partial^2 \varphi_1}{\partial x_0 \partial y_0} + \frac{\partial^2 \varphi_2}{\partial y_0^2})$$

$$\quad {} +\frac{\partial^2\varphi_1}{\partial x_0 \partial y_0 } ... ... \varphi_1}{\partial y_0} \frac{\partial^2\varphi_2}{\partial x_0 \partial y_0}$$ (7.47)

$$c = -\mu(\frac{\partial^2 \varphi_1}{\partial x_0 \partial \lambda} +\frac{\partial^2 \varphi_2}{\partial y_0 \partial \lambda})$$

$$\quad {} +\frac{\partial^2\varphi_1}{\partial x_0 \partial \lambd... ...rphi_1}{\partial y_0} \frac{\partial^2\varphi_2}{\partial x_0 \partial \lambda}$$ (7.48)

となる．ここで $\partial \varphi_i / \partial x_0$や $\partial \varphi_i / \partial y_0$は，固定点追跡に 出てきた変分方程式の解を用いればよいと分かるだろう．すると 残りの $\partial \varphi_i/ \partial \lambda$や， 2階偏微分のものはどうやって生成すればよいのだろうか．

まず，パラメータによる微分 $\partial \varphi_i/ \partial \lambda$は， 式(16)について，パラメータを含めた解を，

$$\mbox{\boldmath$ x $}(t)= \mbox{\boldmath$ \varphi $}(t,\mbox{\boldmath$ x $}_0,\lambda)$$ (7.49)

とすると，この式のパラメータ$\lambda$についての微分は，

$$\frac{\partial \mbox{\boldmath$ x $}}{\partial \lambda} = \frac{\partial \mbox{\boldmath$ \varphi $}}{\partial \lambda}$$ (7.50)

となる．これを式(16)に代入することにより，線形な 微分方程式，

$$\frac{d}{dt} ( \frac{\partial \mbox{\boldmath$ \varphi $} }{... ...a} + \frac{\partial \mbox{\boldmath$ f $}}{\partial \lambda}$$ (7.51)

を得る． これについて，前節のように$t=2\pi$での値を数値的に解いてやればよい．

次に，二階の変数については，方程式(20)をさらに $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$に ついて微分したものを考えるとよい:

$$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial^2 \mbox{\boldmath$ \varp... ...mbox{\boldmath$ \varphi $}}{\partial \mbox{\boldmath$ x $}_0}.$$ (7.52)

もちろん，式中の $\partial \mbox{\boldmath$\ \varphi $}/ \partial \mbox{\boldmath$\ x $}_0$ や $d\mbox{\boldmath$\ f $}/ d\mbox{\boldmath$\ x $}$ は式(21)を流用する． 下線部はテンソル積となって 複雑である．この式を第2変分方程式という．付録に第1,第2変分方程式に ついてまとめた．

さて，この式(52)も同じく，$t=2\pi$での値を数値的に求める ことができると， Jocobi行列の要素が全て決定できるので，分岐点の精密な 位置が算出できる．