7 パラメータ平面上での分岐曲線の追跡

式(2)をコンピュータで数値積分[*]させて,Poincaré写像によって,それが 写される固定点の様子を見てみる.周期外力を適当に設定して 1周期解を得ていることにしよう.

いま,パラメータ $\mbox{\boldmath$\ \lambda $} \in \mbox{\boldmath$R$}^m$のうち, $(m-1)$個の成分は固定し,残り1 つの $\lambda \in \mbox{\boldmath$R$}$ をオンラインで変化させているとしよう[*]. すると,さまざまな点列の性質の変化が観測されるに 違いない.これらは固定点の分岐現象と呼ばれる. 固定点の分岐は,以下の3つの条件で起こる.

  1. 接線分岐:固有値の1つが$1$になる.
    あるパラメータで突然,一つの固定点が別の位置にジャンプする. (jump phenomenon).つまり軌道がそのパラメータで大きく形状を変える. パラメータを逆方向に徐々に戻しても,ジャンプした 固定点は,すぐには元の位置に戻らないヒステリシス現象(histerisis phenomenon) を示す.前節で説明した固定点追跡法では,この現象の近傍で式(14) が非正則となるため,Newton 法がストップしてしまうであろう.

  2. 周期倍分岐:固有値の1つが$-1$になる.
    この分岐はあるパラメータで固定点が2点に分かれる(period doubling). 解軌道は,二重にだぶったように見える閉曲線として観察される. これは新たに安定な固定点が2つ生まれ,変化前の安定な固定点は, 変化後に鞍型点となっている. 固定点が2つになったのではなく,3つになったことに注意.

  3. Neimark-Sacker分岐:2つの固有値が複素共役となり,単位円を横切る.
    この分岐では,ある安定な固定点が突然不安定化し,その周りに準周期解 による不変閉曲線が現れる. この分岐が現れない系もあらかじめ知ることができる(後述).

Figure 1: 分岐の種類と特性乗数の関係
\includegraphics[scale=0.5]{circle.eps}

さて,これらの分岐曲線を得たいとしよう.上述のどの分岐においても,以下の 解析方法は同じである. 固定点の性質は,あらかじめ固有値として与えることができるので, 次の連立方程式を解けば分岐点の精密な位置が分かる.

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
f_1(x_0,y_0,\lambda) - x_0 = 0 \\
f_2(x_0,...
...2\pi,x_0,y_0,\lambda) - \mu
\end{array}\right] = 0
\end{array}\end{displaymath} (7.41)

この式(41)の第1,2式は固定点である条件,第3式は 指定された固有値に対して特性方程式の値がゼロになる条件, 言い替えると,ゼロでない固有ベクトルがある条件を表している.

$F \in \mbox{\boldmath$R$}^3$として,連立方程式を次の式でまとめる.

\begin{displaymath}
F(x_0,y_0,\lambda) =
( f_1(x_0,y_0,\lambda), f_2(x_0,y_0,\lambda), g(x_0,y_0,\lambda))^t
\end{displaymath} (7.42)

ここで $g(x_0,y_0,\lambda)$において,簡単に 行列式が展開できる:
\begin{displaymath}
g(x_0, y_0, \lambda) =
\mu^2 - \mu(\frac{\partial \varphi_1...
...partial y_0}
\frac{\partial \varphi_2}{\partial x_0} ) = 0
\end{displaymath} (7.43)

分岐点のシューティングアルゴリズムとしては,前節と同様にNewton法を用いる. 式(13)を再掲する.
\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\mbox{\boldmath$ x $}^{(k+1)} = \mbox{\bold...
...x{\boldmath$ h $} = -F(\mbox{\boldmath$ x $}^{(k)})
\end{array}\end{displaymath} (7.44)

ここで $\mbox{\boldmath$\ x $} = (x_0, y_0, \lambda)^t$となっている. この$k$次近似におけるJocobi行列は,
$\displaystyle F'(\mbox{\boldmath$ x $})$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\frac{\partial f_1}{\part...
...ial \varphi_2}{\partial \lambda} \\
\displaystyle
a & b & c
\end{array}\right]$ (7.45)
$\displaystyle a$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\mu(\frac{\partial^2 \varphi_1}{\partial x_0^2} +
\frac{\partial^2 \varphi_2}{\partial x_0 \partial y_0})$  
  $\displaystyle \quad {} +\frac{\partial^2\varphi_1}{\partial x_0^2 }
\frac{\part...
...ac{\partial \varphi_1}{\partial y_0}
\frac{\partial^2\varphi_2}{\partial x_0^2}$ (7.46)
$\displaystyle b$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\mu(\frac{\partial^2 \varphi_1}{\partial x_0 \partial y_0} +
\frac{\partial^2 \varphi_2}{\partial y_0^2})$  
  $\displaystyle \quad {} +\frac{\partial^2\varphi_1}{\partial x_0 \partial y_0 }
...
... \varphi_1}{\partial y_0}
\frac{\partial^2\varphi_2}{\partial x_0 \partial y_0}$ (7.47)
$\displaystyle c$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\mu(\frac{\partial^2 \varphi_1}{\partial x_0 \partial \lambda}
+\frac{\partial^2 \varphi_2}{\partial y_0 \partial \lambda})$  
  $\displaystyle \quad {} +\frac{\partial^2\varphi_1}{\partial x_0 \partial \lambd...
...rphi_1}{\partial y_0}
\frac{\partial^2\varphi_2}{\partial x_0 \partial \lambda}$ (7.48)

となる.ここで $\partial \varphi_i / \partial x_0$ $\partial \varphi_i / \partial y_0$は,固定点追跡に 出てきた変分方程式の解を用いればよいと分かるだろう.すると 残りの $\partial \varphi_i/ \partial \lambda$や, 2階偏微分のものはどうやって生成すればよいのだろうか.

まず,パラメータによる微分 $\partial \varphi_i/ \partial \lambda$は, 式(16)について,パラメータを含めた解を,

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$ x $}(t)= \mbox{\boldmath$ \varphi $}(t,\mbox{\boldmath$ x $}_0,\lambda)
\end{displaymath} (7.49)

とすると,この式のパラメータ$\lambda$についての微分は,
\begin{displaymath}
\frac{\partial \mbox{\boldmath$ x $}}{\partial \lambda}
= \frac{\partial \mbox{\boldmath$ \varphi $}}{\partial \lambda}
\end{displaymath} (7.50)

となる.これを式(16)に代入することにより,線形な 微分方程式,
\begin{displaymath}
\frac{d}{dt} ( \frac{\partial \mbox{\boldmath$ \varphi $} }{...
...a}
+ \frac{\partial \mbox{\boldmath$ f $}}{\partial \lambda}
\end{displaymath} (7.51)

を得る[*]. これについて,前節のように$t=2\pi$での値を数値的に解いてやればよい.

次に,二階の変数については,方程式(20)をさらに $\mbox{\boldmath$\ x $}_0$に ついて微分したものを考えるとよい:

\begin{displaymath}
\frac{d}{dt}\left(
\frac{\partial^2 \mbox{\boldmath$ \varp...
...mbox{\boldmath$ \varphi $}}{\partial \mbox{\boldmath$ x $}_0}.
\end{displaymath} (7.52)

もちろん,式中の $\partial \mbox{\boldmath$\ \varphi $}/ \partial \mbox{\boldmath$\ x $}_0$ $ d\mbox{\boldmath$\ f $}/ d\mbox{\boldmath$\ x $}$ は式(21)を流用する. 下線部はテンソル積となって 複雑である.この式を第2変分方程式という.付録に第1,第2変分方程式に ついてまとめた.

さて,この式(52)も同じく,$t=2\pi$での値を数値的に求める ことができると, Jocobi行列の要素が全て決定できるので,分岐点の精密な 位置が算出できる.


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User & 2017-09-07