9 例題--Duffing 方程式

Duffing方程式は，非線形なバネのダイナミクスを表現している．

ここでの``非線形''とは，変位に比例する復元力のほかに 変位の3乗に比例した復元力が働くことを指す． この力学系に外力として，正弦波を加えたときの周期解を考える． 式(53)は5つのパラメータ を 持っており，これらパラメータのいろいろな値によって 周期解に様々な分岐が生じる． この分岐パラメータがいま知りたいとしよう．

固定点を追うプログラムと分岐曲線をトレースするプログラムに 使用する変数，および， この式(53)に対して，付録の公式(A.4) (A.14)によって 変分方程式を計算した結果を表2に与える． ここでは5つのパラメータのうち， は固定した ．

Table 2: Duffing方程式の変分方程式

変数	計算機変数	微分方程式	初期条件
			$1$
			$1$
ここで，傍点は時間微分を表し， である．

前節で解説した手順によって，Duffing方程式の，1周期の周期解の分岐図を 作成した． ．図9 はとと 接続するとがった先の点において計算が停止する．この点をカスプ点という． もちろん原因はNewton法に与えるJacobi行列(45)が非正則になるためで ある．この点においても連続的に分岐曲線を追跡する手法も提案されている [5]．

Figure 2: Duffing 方程式の1周期解の分岐; $G^1_i$ は接線分岐，$I^1_i$ は 周期倍分岐を表している

ところで，系から微分方程式を実際に解くより先にあらかじめ得られる 情報として重要なものに Liouville の定理がある． すなわち，特性方程式(40)の2根 $\mu_1,\mu_2$ に対して，次の等式が成り立つ(証明略):

Duffing方程式は，この公式によって となることが容易に確かめられる．この結果は，

• 式(45)の要素の計算において，式(46) (48)の第2項以降は計算が不要であることを示している．
• 正の摩擦係数を持つ 系()においては は決して1にならない．したがって Neimark-Sacker 分岐は生じない．

などの非常に有用な情報をもたらす．