8 まとめ

分岐パラメータ探索の戦略は，次のようにまとめられる．

1. 位相平面図より，周期解に対応するPoincaré写像の安定，または 不安定点固定点の近似値を求める．
2. 固定点をNewton法で計算する．パラメータを変化させ，固定点が 求められなくなった点(接線分岐)，または固有値が分岐の条件 (周期倍分岐，Neimark-Sacker 分岐)を満たす近似値を求める．
3. 2.の近似値をもとに，分岐パラメータを計算する．

このストラテジに対して，計算機プログラムも普通3 つ用意される． ところで，前述のように，接線分岐では， 固定点追跡に用いたJacobi行列がsingularになり，分岐点の 精密な近似解を与えることができない．そこで次の原則を採用する．

つまり，singularな点にできるだけ近い点のデータを与え，後は 式(44)のアルゴリズムにsingularな点の精密な 近似解の計算をゆだねるとよい．

これらのプログラムを用いて最終的に，周期解の分岐パラメータ曲線を 得ることができ，それから問題の系の性質を説明することができよう．

分岐曲線を二次元的に追うときは，次の手順をとる．

• 一方のパラメータは，変分方程式を解く専用とする．
• 他方のパラメータは，固定値から スタートし，分岐点が求まれば，次の分岐点のために細かい刻みで ユーザが変化させる． ここでユーザが変化させるパラメータの変化後における分岐点は，それまでに求めた 分岐点から外挿するとよいであろう．
• 分岐曲線が二次元的に大きくカーブを 描いているときは変分方程式に渡すパラメータを交換する． これはパラメータ平面上の分岐曲線の傾きを測定し，自動的に変数交換を おこなうようプログラムで工夫する．

もちろん，変分方程式に渡すパラメータに制限はないので，任意の2変数について パラメータ平面図をもとめることができる．そのときは，個々のパラメータについて 変分方程式を求めておく．