レポート

1. $a=0.3$のとき，実数解を以下で示す精度で求めよ．
   • 実数解はこの$a$の値では2つ存在する．与える初期値は図1 から だいたい読みとれるであろう．
   • 反復回数は8回以内(初期値によって回数は変わるので注意)．
   • 収束判定については，
     
     $$\vert x_k-x_{k+1}\vert + \vert y_k - y_{k+1}\vert < 10^{-8}$$
     
     
     を用いよ．この左辺は1ノルムと呼ばれる．
   • 前節と同様のプログラムリストと結果を報告しなさい．
2. 縦軸に$x$，横軸に$a$を取り，解$x$をプロットせよ．プロット するプログラムを作成してもよいし，時間に余裕がない者は，手動で $a$を細かく変えながら解を追跡して$x-a$空間での座標値をファイルにし， グラフ描画プログラム(どうやってそれを入手するかについては，関与しない) で出力しなさい． これによって得られる図は，解の分岐図(bifurcation diagram)と呼ばれる．

   
   

   Table 1: 式(18)のパラメータ$a$に対する実数解の個数

   $a$の値	$a<-1$	$a=-1$	$-1 < a < 1$	$a=1$	$1<a<a^*$	$a^*$	$a > a^*$
   実数解の個数	0	1	2	3	4	2	0

   
   

3. $a=1,a=-1$での重解は，上述のように解析的に解が求まるにも関わらず， どのように初期値を与えても，8回以内の反復回数では求めることができない． この原因は，このパラメータ付近でJacobi行列のランクが落ちる (行列式の値がゼロになる)ためである． そのため，条件(方程式)をもう一つ加えて解を求めなければならない． そのアルゴリズムを 考案せよ．このアルゴリズムが出来れば表1 の $a^*$が求まるはずである．

   ヒント:

   • 重解は，単位円と放物線が接している．
   • 式(18)と，新しい条件式に対して，変数を$(x,y,a)$とせよ． これには$a$による偏微分を計算する必要がある．

Figure 1: 式(18)について，$f_1$および適当な$a$での$f_2$ をプロットした．