連立方程式の場合--4次元方程式の実数解

次の方程式の実数解を求めるプログラムを作成せよ．

$$\left\{ \begin{array}{rcl} f_1(x,y) & = & x^2 + y^2 -1 = 0\\ f_2(x,y) & = & y + x^2 - a = 0\\ \end{array}\right.$$ (18)

式(18)の解$(x,y)$は， 幾何学的に，関数$f_1$(単位円)と関数$f_2$(放物線)の交点座標を与える． これはもちろん$x$についての4次方程式を解く問題と等価である．

図1 に示すように，交点(実数解)の個数はパラメータ$a$によって 変わる．手計算によっても$a=1.0$の場合，実数解が $(x,y)=(1,0) (\mbox{重解}), (0,1),(0,-1)$ の3個，$a=-1.0$の時， $(0,-1)(\mbox{重解})$が1個ということが分かる．

なお，Jacobi行列は，

$$\frac{d\bm{f}}{d\bm{x}}(\bm{x}) = \left( \begin{array}{cc} 2x & 2y\\ 2x & 1 \end{array}\right)$$ (19)

となる．